Barisan aritmatika bertingkat meupakan suatu rangkaian angka yang terdiri dari dua atau lebih dalam suatu barisan yang saling terkait atau berkelompok. Jumlah jenis barisan pada aritmatika bertingkat ini tidak terbatas, dan variasinya tergantung pada selisih (d) dan titik awal (a1) dari setiap barisan dalam rangkaian tersebut.
Barisan aritmatika bertingkat sering digunakan dalam berbagai konteks matematika dan ilmu pengetahuan, terutama dalam pemodelan masalah yang melibatkan banyak kumpulan data yang memiliki hubungan aritmatika tetap antara angka-angka dalam setiap kumpulan.
Daftar Isi
Apa Itu Barisan Aritmatika Bertingkat?
Barisan aritmatika bertingkat adalah suatu rangkaian angka yang terdiri dari dua atau lebih barisan aritmatika yang saling terkait atau berkelompok. Setiap barisan aritmatika dalam rangkaian ini memiliki perbedaan (selisih) yang tetap antara setiap pasangan angka berturut-turut dalam barisan tersebut.
Misalnya, pertimbangkan barisan aritmatika bertingkat berikut:
Barisan 1: 2, 4, 6, 8, 10, …
Barisan 2: 12, 15, 18, 21, 24, …
Barisan 3: 3, 6, 9, 12, 15, …
Dalam contoh di atas, kita memiliki tiga barisan aritmatika bertingkat. Barisan 1 memiliki selisih 2 antara setiap angka berturut-turut, barisan 2 memiliki selisih 3, dan barisan 3 memiliki selisih 3 juga. Namun, keseluruhan rangkaian ini juga memiliki pola aritmatika yang konsisten.
Setiap elemen dalam barisan 1 adalah bilangan genap positif, setiap elemen dalam barisan 2 adalah kelipatan 3, dan setiap elemen dalam barisan 3 adalah kelipatan 3 yang dimulai dari 3.
Dengan memahami struktur dan sifat barisan aritmatika bertingkat, kita dapat menganalisis data lebih baik dan membuat prediksi atau perhitungan yang tepat.
Jenis Barisan Aritmatika Bertingkat
Setiap jenis barisan aritmatika bertingkat ini dapat memiliki berbagai variasi tergantung pada kondisi atau aplikasinya. Karena itu, jenis barisan pada aritmatika bertingkat yang mungkin adalah tidak terbatas, tergantung pada kombinasi selisih dan titik awal yang dapat digunakan dalam suatu rangkaian tertentu.
Nah, berikut adalah beberapa jenis barisan aritmatika bertingkat yang umumnya bisa kita temukan.
1.Barisan Aritmatika Bertingkat yang Paralel
Dalam jenis ini, semua barisan aritmatika dalam rangkaian berjalan secara paralel dan memiliki selisih (d) yang sama, tetapi titik awal (a1) yang berbeda. Misalnya, jika ada tiga barisan aritmatika bertingkat, semua dengan selisih 2, maka mereka berjalan secara paralel jika titik awalnya berbeda, misalnya 2, 5, dan 8.
2.Barisan Aritmatika Bertingkat yang Berbeda Selisih
Dalam jenis ini, setiap barisan aritmatika dalam rangkaian memiliki selisih (d) yang berbeda, tetapi mungkin memiliki titik awal yang sama atau berbeda. Misalnya, jika ada tiga barisan aritmatika bertingkat dengan selisih yang berbeda, seperti 2, 4, dan 6, maka mereka akan memiliki perbedaan selisih di antara mereka.
3.Barisan Aritmatika Bertingkat dengan Perubahan Titik Awal
Dalam jenis ini, setiap barisan aritmatika dalam rangkaian memiliki selisih yang sama, tetapi titik awalnya berubah seiring perjalanan. Misalnya, barisan pertama dimulai dengan a1 = 3, barisan kedua dimulai dengan a1 = 7, dan seterusnya, tetapi selisihnya sama.
4.Barisan Aritmatika Bertingkat dengan Selisih Berubah
Dalam jenis aritmatika ini, selisih (d) dari setiap barisan aritmatika dalam rangkaian berubah seiring berjalannya waktu atau perubahan posisi dalam rangkaian. Misalnya, barisan pertama memiliki selisih awal d1 = 2, kemudian berubah menjadi d2 = 3 pada barisan kedua, dan seterusnya.
Rumus Barisan Aritmatika Bertingkat
Rumus umum untuk barisan aritmatika bertingkat tidak begitu standar seperti rumus untuk barisan aritmatika biasa. Ini karena setiap barisan dalam aritmatika bertingkat dapat memiliki selisih (beda) yang berbeda dan titik awal yang berbeda. Oleh karena itu, tidak ada rumus umum yang dapat digunakan untuk menggambarkan seluruh rangkaian barisan pada aritmatika bertingkat.
Namun, kita dapat menggunakan contoh konkret untuk menjelaskan bagaimana rumus dapat dibuat untuk setiap barisan dalam barisan aritmatika bertingkat. Mari kita lihat contoh berikut:
Barisan 1: 2, 4, 6, 8, 10, …
Barisan 2: 12, 15, 18, 21, 24, …
Barisan 3: 3, 6, 9, 12, 15, …
Dalam contoh di atas, mari kita buat rumus untuk setiap barisan:
1.Barisan 1
Ini adalah barisan aritmatika dengan titik awal (a1) sama dengan 2 dan selisih (d) sama dengan 2. Rumus barisan ini adalah a1 + (n – 1) * d, di mana n adalah urutan ke-n dalam barisan. Jadi, rumus untuk barisan 1 adalah: a1 = 2, d = 2.
2.Barisan 2
Ini juga adalah barisan aritmatika dengan titik awal (a1) sama dengan 12 dan selisih (d) sama dengan 3. Rumusnya adalah a1 + (n – 1) * d. Jadi, rumus untuk barisan 2 adalah: a1 = 12, d = 3.
3.Barisan 3
Ini juga adalah barisan aritmatika dengan titik awal (a1) sama dengan 3 dan selisih (d) sama dengan 3, sama seperti barisan 2. Jadi, rumusnya adalah a1 + (n – 1) * d. Jadi, rumus untuk barisan 3 adalah: a1 = 3, d = 3.
Dengan rumus-rumus ini, Anda dapat menghitung anggota apa pun dalam setiap barisan di atas dengan mudah. Misalnya, jika Anda ingin mengetahui anggota ke-4 dalam barisan 1, Anda dapat menggunakan rumus barisan 1: a1 = 2, d = 2, n = 4, dan menghitung a4 = 2 + (4 – 1) * 2 = 2 + 3 * 2 = 2 + 6 = 8.
Demikianlah, Anda dapat membuat rumus-rumus serupa untuk setiap barisan dalam barisan aritmatika bertingkat berdasarkan selisih dan titik awal masing-masing barisan.
Contoh Soal Barisan Aritmatika Bertingkat
Untuk memudahan pemahaman, ada baiknya diberikan contoh soal untuk latihan. Nah, berikut ini beberapa contoh soal barisan aritmatika bertingkat beserta jawabannya untuk lebih mudah dalam memahami materi pelajaran ini.
Contoh Soal 1:
Ada tiga barisan aritmatika bertingkat berikut:
Barisan 1: 2, 5, 8, 11, …
Barisan 2: 12, 16, 20, 24, …
Barisan 3: 3, 6, 9, 12, …
- a) Tentukan rumus umum (persamaan rekursif) untuk setiap barisan.
- b) Hitung nilai ke-5 dalam masing-masing barisan.
Jawaban:
- a) Rumus umum untuk masing-masing barisan dapat ditentukan sebagai berikut:
Barisan 1:
Titik awal (a1) = 2
Selisih (d) = 3 (perbedaan antara setiap angka berturut-turut)
Rumus umum: a(n) = a1 + (n – 1) * d
Barisan 2:
Titik awal (a1) = 12
Selisih (d) = 4
Rumus umum: a(n) = a1 + (n – 1) * d
Barisan 3:
Titik awal (a1) = 3
Selisih (d) = 3
Rumus umum: a(n) = a1 + (n – 1) * d
b) Sekarang kita dapat menghitung nilai ke-5 dalam masing-masing barisan:
Barisan 1:
a(5) = 2 + (5 – 1) * 3 = 2 + 4 * 3 = 2 + 12 = 14
Jadi, nilai ke-5 dalam Barisan 1 adalah 14.
Barisan 2:
a(5) = 12 + (5 – 1) * 4 = 12 + 4 * 4 = 12 + 16 = 28
Jadi, nilai ke-5 dalam Barisan 2 adalah 28.
Barisan 3:
a(5) = 3 + (5 – 1) * 3 = 3 + 4 * 3 = 3 + 12 = 15
Jadi, nilai ke-5 dalam Barisan 3 adalah 15.
Contoh Soal 2
Berikut adalah contoh soal barisan aritmatika bertingkat lainnya beserta jawabannya.
Terdapat tiga barisan pada aritmatika bertingkat berikut:
Barisan 1: 1, 3, 5, 7, …
Barisan 2: 10, 17, 24, 31, …
Barisan 3: -4, -2, 0, 2, …
- a) Tentukan rumus umum (persamaan rekursif) untuk setiap barisan.
- b) Hitung nilai ke-6 dalam masing-masing barisan.
Jawaban:
a) Rumus umum untuk masing-masing barisan dapat ditentukan sebagai berikut:
Barisan 1:
Titik awal (a1) = 1
Selisih (d) = 2 (perbedaan antara setiap angka berturut-turut)
Rumus umum: a(n) = a1 + (n – 1) * d
Barisan 2:
Titik awal (a1) = 10
Selisih (d) = 7
Rumus umum: a(n) = a1 + (n – 1) * d
Barisan 3:
Titik awal (a1) = -4
Selisih (d) = 2
Rumus umum: a(n) = a1 + (n – 1) * d
b) Sekarang kita dapat menghitung nilai ke-6 dalam masing-masing barisan:
Barisan 1:
a(6) = 1 + (6 – 1) * 2 = 1 + 5 * 2 = 1 + 10 = 11
Jadi, nilai ke-6 dalam Barisan 1 adalah 11.
Barisan 2:
a(6) = 10 + (6 – 1) * 7 = 10 + 5 * 7 = 10 + 35 = 45
Jadi, nilai ke-6 dalam Barisan 2 adalah 45.
Barisan 3:
a(6) = -4 + (6 – 1) * 2 = -4 + 5 * 2 = -4 + 10 = 6
Jadi, nilai ke-6 dalam Barisan 3 adalah 6.
Contoh Soal 3:
Berikut adalah contoh soal lainnya tentang barisan aritmatika bertingkat beserta jawabannya yang uga bisa untuk latihan.
Terdapat tiga barisan pada aritmatika bertingkat berikut:
Barisan 1: 4, 8, 12, 16, …
Barisan 2: -5, -8, -11, -14, …
Barisan 3: 20, 24, 28, 32, …
- a) Tentukan rumus umum (persamaan rekursif) untuk setiap barisan.
- b) Hitung nilai ke-7 dalam masing-masing barisan.
Jawaban:
a) Rumus umum untuk masing-masing barisan dapat ditentukan sebagai berikut:
Barisan 1:
Titik awal (a1) = 4
Selisih (d) = 4 (perbedaan antara setiap angka berturut-turut)
Rumus umum: a(n) = a1 + (n – 1) * d
Barisan 2:
Titik awal (a1) = -5
Selisih (d) = -3
Rumus umum: a(n) = a1 + (n – 1) * d
Barisan 3:
Titik awal (a1) = 20
Selisih (d) = 4
Rumus umum: a(n) = a1 + (n – 1) * d
b) Sekarang kita dapat menghitung nilai ke-7 dalam masing-masing barisan:
Barisan 1:
a(7) = 4 + (7 – 1) * 4 = 4 + 6 * 4 = 4 + 24 = 28
Jadi, nilai ke-7 dalam Barisan 1 adalah 28.
Barisan 2:
a(7) = -5 + (7 – 1) * (-3) = -5 + 6 * (-3) = -5 – 18 = -23
Jadi, nilai ke-7 dalam Barisan 2 adalah -23.
Barisan 3:
a(7) = 20 + (7 – 1) * 4 = 20 + 6 * 4 = 20 + 24 = 44
Jadi, nilai ke-7 dalam Barisan 3 adalah 44.
Demikianlah penjeasan tentang barisan aritmatika bertingkat, dari pengertian, rumus hingga contoh soalnya yang bisa untuk latihan. Buat kamu yang ingin lebih memahami materi pelajaran Matematika ini disarankan untuk mengikuti les privat dengan tutor yang berpengalaman, seperti di Edumaster Privat. Lembaga bimbel yang terpercaya ini sudah memiliki banyak cabang di berbagai daerah yang bisa kamu hubungi.
Komentar Terbaru