Barisan geometri adalah urutan angka di mana hubungan antara suku-suku tersebut bersifat geometris, dengan penggunaan konstanta atau rasio yang sama untuk menghubungkan suku-suku berurutan. Konsep ini memiliki ciri khas, yaitu ada hubungan geometris yang tetap antara suku-suku yang berurutan sehingga kita bisa menghitung setiap suku dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio yang sama.
Konsep barisan geometri telah menjadi bagian penting dari matematika dan memiliki banyak aplikasi dalam berbagai disiplin ilmu. Konsep ini sering digunakan dalam berbagai konteks matematika dan ilmu pengetahuan, seperti fisika, ilmu komputer, dan keuangan. Ada sejumla nama tokoh dan ahli matematika yang terkenal terkait dengan konsep ini, seperti Gauss, Pascal, dan Euler.
Daftar Isi
Apa Itu Barisan Geometri?
Tahukah kamu apa itu barisan geometri? Pengertian barisan geometri adalah urutan angka atau objek matematika yang dibentuk dengan mengalikan setiap angka sebelumnya dengan suatu bilangan konstan yang disebut rasio (atau common ratio).
Dengan kata lain, dalam barisan geometri, setiap angka (kecuali yang pertama) diperoleh dengan mengalikan angka sebelumnya dengan suatu bilangan tetap.
Barisan geometri umumnya dapat direpresentasikan dengan notasi berikut: a,ar,ar2,ar3,…a,ar,ar2,ar3,…
Dalam notasi ini:
- aa adalah suku pertama dari barisan (biasanya disebut suku pertama).
- rr adalah rasio, yaitu bilangan konstan yang digunakan untuk mengalikan suku sebelumnya dan mendapatkan suku berikutnya.
Contoh barisan geometri adalah sebagai berikut:
- Barisan dengan suku pertama a=2a=2 dan rasio r=3r=3: 2,6,18,54,…2,6,18,54,… Setiap suku dalam barisan ini diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 3.
- Barisan dengan suku pertama a=5a=5 dan rasio r=1/2r=1/2: 5,2.5,1.25,0.625,…5,2.5,1.25,0.625,… Dalam barisan ini, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 1/2.
Dalam barisan geometri, Anda dapat menghitung suku ke-n dengan rumus umum sebagai berikut:
an = a⋅r (n−1) an = a⋅r (n−1)
Di sini, an an adalah suku ke-n dalam barisan, aa adalah suku pertama, rr adalah rasio, dan nn adalah indeks suku yang ingin dihitung. Barisan geometri sering digunakan dalam berbagai konteks matematika dan ilmu pengetahuan, termasuk keuangan, fisika, dan ilmu komputer.
Pengertian Barisan Geometri Menurut Para Ahli
Untuk lebih memahami konsep ini, berikut penjelasan dari pengertian barisan geometri menurut para ahli yang bisa untuk referensi.
1.Carl Friedrich Gauss
Gauss adalah seorang ahli matematika terkenal yang memberikan kontribusi besar dalam berbagai bidang matematika. Menurut Gauss, barisan geometri adalah urutan bilangan di mana setiap angka diperoleh dengan mengalikan angka sebelumnya dengan konstanta tertentu.
2.Blaise Pascal
Pascal, seorang matematikawan Prancis terkenal, juga memiliki pemahaman tentang barisan geometri. Menurutnya, ini adalah urutan angka yang dibentuk dengan mengalikan suku sebelumnya dengan konstanta yang sama.
3.Leonhard Euler
Euler, matematikawan Swiss yang sangat berpengaruh, juga memberikan definisi serupa. Menurutnya, barisan geometri adalah urutan angka di mana setiap angka diperoleh dengan mengalikan angka sebelumnya dengan faktor konstan yang sama.
Barisan Geometri dan Deret Geometri
Sebenarnya, apakah sama antara barisan geometri dan deret geometri? Ini adalah dua konsep yang serupa dalam matematika, tetapi ada perbedaan penting antara keduanya.
Perbedaan utama antara keduanya adalah bahwa barisan geometri adalah urutan suku-suku yang diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio, sementara deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dalam barisan geometri ini. Keduanya erat terkait, tetapi memiliki fokus yang berbeda. Berikut ini penjelasannya:
Barisan Geometri
Barisan geometri adalah urutan angka atau objek matematika di mana setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan konstan yang disebut rasio (common ratio).
Dengan kata lain, barisan geometri adalah urutan angka atau objek matematika yang ditempatkan dalam suatu urutan berdasarkan hukum perkalian tertentu. Setiap suku dalam barisan geometri diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan konstan yang disebut rasio (common ratio).
Barisan geometri fokus pada urutan suku-suku berurutan. Misalnya, jika kita memiliki barisan geometri dengan suku pertama a=2a=2 dan rasio r=3r=3, maka urutannya akan menjadi: 2, 6, 18, 54, dan seterusnya. Di sini, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 3.
Deret Geometri
Deret geometri, di sisi lain, adalah jumlah dari suku-suku dalam sebuah barisan geometri. Ini adalah hasil dari menjumlahkan suku-suku dalam barisan geometri sampai sejumlah tertentu.
Ini berarti, untuk mendapatkan deret geometri, kita akan menjumlahkan semua suku dalam barisan geometri sampai ke suku ke-n tertentu.
Deret geometri adalah penjumlahan barisan geometri. Misalnya: 2 + 6 + 18 + 54 adalah contoh deret geometri yang dihasilkan dari barisan geometri sebelumnya. Sehingga, jika kita ingin menjumlahkan suku-suku pertama 4 dalam barisan yang sama (2, 6, 18, 54), deret geometrinya akan menjadi: 2+6+18+54=802+6+18+54=80.
Jadi, deret geometri adalah hasil penjumlahan suku-suku dalam barisan geometri.
Kesimpulan:
Jadi, perbedaan mendasar antara keduanya adalah fokusnya:
Barisan Geometri adalah tentang urutan suku-suku yang diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio.
Deret Geometri adalah tentang hasil penjumlahan suku-suku dalam barisan geometri tersebut.
Keduanya sangat erat terkait, dan deret geometri sering kali dihasilkan dari barisan geometri. Pemahaman yang baik tentang keduanya adalah penting dalam matematika, terutama ketika Anda bekerja dengan perhitungan yang melibatkan urutan bilangan dan penjumlahan bilangan dalam barisan tersebut.
Rumus Barisan Geometri
Ada rumus umum untuk menghitung suku ke-n dalam sebuah barisan geometri. Berikut ini rumus barisan geometri yang penting untuk dihafal dan diketahui, yaitu:
an=a⋅r(n−1)an=a⋅r(n−1)
Di sini,
- anan adalah suku ke-n dalam barisan.
- aa adalah suku pertama dalam barisan.
- rr adalah rasio (common ratio) antara setiap suku dalam barisan.
- nn adalah indeks suku yang ingin dihitung.
Contoh dan penjelasan rumus barisan geometri:
Misalkan kita memiliki barisan geometri dengan suku pertama (aa) adalah 2 dan rasio (rr) adalah 3. Kita ingin menghitung suku kelima dalam barisan ini (n=5n=5).
Menggunakan rumus barisan geometri:
a5=a⋅r(5−1)a5=a⋅r(5−1) a5=2⋅3(5−1)a5=2⋅3(5−1) a5=2⋅34a5=2⋅34 a5=2⋅81a5=2⋅81 a5=162a5=162
Jadi, suku kelima dalam barisan ini adalah 162. Ini diperoleh dengan mengalikan suku pertama (2) dengan rasio (3) yang dinaikkan ke kuasa 4 (karena n=5n=5).
Selanjutnya, mari kita lihat contoh ini:
2,6,18,54,162,…2,6,18,54,162,…
Setiap suku dalam barisan ini diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio 3. Ini adalah ciri khas dari barisan geometri, di mana ada hubungan geometris yang tetap antara suku-suku berurutan, di mana kita dapat menghitung setiap suku dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio yang sama. Dalam contoh ini, 2⋅3=62⋅3=6, 6⋅3=186⋅3=18, dan seterusnya.
Contoh Soal dan Jawaban Barisan Geometri
Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas tentang penggunaan rumus barisan geometri untuk menghitung suku-suku dalam barisan geometri dengan suku pertama (aa) dan rasio (rr) yang diberikan akan ih mudh dengan contoh soal.
Nah, berikut diberikan beberapa contoh soal dan jawaban barisan geometri yang bisa untuk latihan di rumah.
Soal 1
Dalam sebuah barisan geometri, suku pertama (aa) adalah 4 dan rasio (rr) adalah 2. Hitung suku kelima dalam barisan ini (n=5n=5).
Jawaban:
Kita dapat menggunakan rumus barisan geometri untuk menghitung suku kelima (a5a5):
a5=a⋅r(5−1)a5=a⋅r(5−1) a5=4⋅2(5−1)a5=4⋅2(5−1) a5=4⋅24a5=4⋅24 a5=4⋅16a5=4⋅16 a5=64a5=64
Jadi, suku kelima dalam barisan geometri ini adalah 64.
Soal 2
Dalam sebuah barisan geometri, suku pertama (aa) adalah 3 dan rasio (rr) adalah 1/2. Hitung suku ketiga dalam barisan ini (n=3n=3).
Jawaban:
Kita menggunakan rumus barisan geometri untuk menghitung suku ketiga (a3a3):
a3=a⋅r(3−1)a3=a⋅r(3−1) a3=3⋅(1/2)(3−1)a3=3⋅(1/2)(3−1) a3=3⋅(1/2)2a3=3⋅(1/2)2 a3=3⋅(1/4)a3=3⋅(1/4) a3=3/4a3=3/4
Jadi, suku ketiga dalam barisan geometri ini adalah 3/43/4.
Soal 3
Dalam sebuah barisan geometri, suku pertama (aa) adalah 6 dan rasio (rr) adalah 3. Hitung suku ke-7 dalam barisan ini (n=7n=7).
Jawaban:
Kita akan menggunakan rumus barisan geometri untuk menghitung suku ke-7 (a7a7):
a7=a⋅r(7−1)a7=a⋅r(7−1) a7=6⋅3(7−1)a7=6⋅3(7−1) a7=6⋅36a7=6⋅36 a7=6⋅729a7=6⋅729 a7=4374a7=4374
Jadi, suku ke-7 dalam barisan geometri ini adalah 4374.
Soal 4
Dalam sebuah barisan geometri, suku pertama (aa) adalah 10 dan rasio (rr) adalah 0.5. Hitung suku ke-6 dalam barisan ini (n=6n=6).
Jawaban:
Kita akan menggunakan rumus barisan geometri untuk menghitung suku ke-6 (a6a6):
a6=a⋅r(6−1)a6=a⋅r(6−1) a6=10⋅(0.5)(6−1)a6=10⋅(0.5)(6−1) a6=10⋅(0.5)5a6=10⋅(0.5)5 a6=10⋅0.03125a6=10⋅0.03125 a6=0.3125a6=0.3125
Jadi, suku ke-6 dalam barisan geometri ini adalah 0.3125.
Soal 5
Dalam sebuah barisan geometri, suku pertama (aa) adalah 8 dan rasio (rr) adalah 0.5. Hitung suku ketujuh dalam barisan ini (n=7n=7).
Jawaban:
Kita akan menggunakan rumus barisan geometri untuk menghitung suku ketujuh (a7a7):
a7=a⋅r(7−1)a7=a⋅r(7−1)
a7=8⋅(0.5)(7−1)a7=8⋅(0.5)(7−1)
a7=8⋅(0.5)6a7=8⋅(0.5)6
a7=8⋅0.015625a7=8⋅0.015625
a7=0.125a7=0.125
Jadi, suku ketujuh dalam barisan geometri ini adalah 0.125.
Soal 6
Dalam sebuah barisan geometri, suku pertama (aa) adalah 3 dan rasio (rr) adalah 2. Hitung suku keempat dalam barisan ini (n=4n=4).
Jawaban:
Kita akan menggunakan rumus barisan geometri untuk menghitung suku keempat (a4a4):
a4=a⋅r(4−1)a4=a⋅r(4−1)
a4=3⋅2(4−1)a4=3⋅2(4−1)
a4=3⋅23a4=3⋅23
a4=3⋅8a4=3⋅8
a4=24a4=24
Jadi, suku keempat dalam barisan geometri ini adalah 24.
Soal 7
Dalam sebuah barisan geometri, suku pertama (aa) adalah 5 dan rasio (rr) adalah 1/3. Hitung suku kesepuluh dalam barisan ini (n=10n=10).
Jawaban:
Kita akan menggunakan rumus barisan geometri untuk menghitung suku kesepuluh (a10a10):
a10=a⋅r(10−1)a10=a⋅r(10−1)
a10=5⋅(1/3)(10−1)a10=5⋅(1/3)(10−1)
a10=5⋅(1/3)9a10=5⋅(1/3)9
a10=5⋅1/19683a10=5⋅1/19683
a10=5/19683a10=5/19683
Jadi, suku kesepuluh dalam barisan geometri ini adalah 5/196835/19683.
Contoh soal dan jawaban barisan geometri di atas menggambarkan penggunaan rumus untuk menghitung suku-suku dalam barisan dengan suku pertama (aa) dan rasio (rr) yang berbeda. Anda dapat menghitung suku mana pun dalam barisan ini dengan rumus tersebut asalkan Anda mengetahui suku pertama, rasio, dan indeks suku yang ingin dihitung.
Demikian penjelasan mengenai barisan geometri, baik pengertian, rumus hingga contoh soal dan jawabannya yang semoga bisa dipahami. Jika kalian masih kesulitan dalam memahami materi pelajaran matematika ini ada baiknya kalian mengikuti les privat di Edumaster Privat. Silahkan hubungi kontak pada webste ini untuk menemukan kantor perwakilannya di wilayah kalian.
Komentar Terbaru