Umum

Rumus Aritmatika Bertingkat: Pengertian, Rumus dan Contohnya

Mempelajari rumus aritmatika bertingkat tidak akan lepas dari barisan aritmatika dan deret aritmatika. Hal ini karena terdapat kaitan yang sangat kuat antara rumus ini dengan barisan aritmatika serta deret aritmatika.

Barisan aritmatika merupakan suatu bilangan yang memiliki perbedaan pengurangan atau selisih yang konstan pada suku-suku yang berdekatan secara teratur. Adapun deret aritmatika merupakan jumlah suku ke n kesatu di barisan aritmatika.

Barisan aritmatika dalam rumus aritmatika bertingkat mempunyai perbedaan nilai yang sama. Misalkan selisih angka 4 , 5 dan angka lainnya. Itu sudah menjadi sifat dan karakteristik dari barisan aritmatika.

Namun dalam beberapa contoh soal aritmatika mungkin anda menjumpai contoh soal aritmatika yang perbedaan nilainya dari deretan angka bersifat tidak tetap. Misalkan angka berikut : 1,5, 12, 22, 35,…

Anda bisa melakukan analisis terhadap kumpulan bilangan di atas. Anda dapat melihat perbedaan pada setiap angka secara berurutan tidak mempunyai nilai yang tetap.

Untuk memudahkan penghitungan barisan aritmatika maka penamaan suku pertama adalah U1. Sedangkan suku kedua disebut U2. Perbedaan dari suku pertama yakni 1 dengan suku kedua yakni 5 sebesar 4 angka.

Namun pada suku ke-3 yakni 12 dengan suku keempat yakni 22 terdapat selisih 10. Dalam arti selisih perbedaan yang tak sama. Kalau anda mendapatkan contoh soal berikut ini merupakan  tanda sebuah barisan aritmatika yang memiliki nilai tetap berlainan yang bersifat belum langsung.

Mengenal Rumus Aritmatika Bertingkat

Pada mata pelajaran matematika terdapat suatu materi rumus aritmatika bertingkat. Materi ini menjadi materi wajib dipelajari bagi kalangan pelajar yang duduk di kelas tingkat 8. Ada banyak hal yang dipelajari dari matematika SMP ini. Seperti rumus barisan aritmatika, barisan aritmatika, dan cara mencari rumus suku ke n beserta contoh soalnya.

Rumus aritmatika bertingkat berkaitan dengan beberapa istilah penting yang juga perlu dipelajari secara baik. Seperti barisan aritmatika bertingkat, contoh soal aritmatika bertingkat dan konsep dasar Aritmatika. Semua itu dilakukan untuk meningkatkan pemahaman kalian terhadap konsep Aritmatika bertingkat yang kelak berguna bagi kehidupan.

Untuk mempelajari rumus aritmatika bertingkat tidak cukup hanya menguasai dan memahami konsep dari Aritmatika bertingkat satu saja. Namun anda perlu juga memahami deret dan barisan aritmatika bertingkat lainnya. Hingga anda mengenal dan memahami rumus aritmatika dengan berbagai tingkatan.

Bagi anda yang menyukai mata pelajaran matematika maka pokok bahasan tentang Aritmatika bertingkat menjadi suatu tantangan yang menarik untuk dipelajari. Kehadiran rumus aritmatika ini hanyalah untuk memudahkan kita dalam penyelesaian soal -soal aritmatika bertingkat di lapangan.

Ada banyak hal yang terkait dengan rumus aritmatika bertingkat. Seperti barisan aritmatika. Barisan aritmatika merupakan suatu bentuk barisan bilangan yang memiliki suatu pola tertentu dengan adanya pembeda nilai yang sama secara konstan pada suku-sukunya. Untuk nilai pembeda pada setiap suku ke suku berikutnya sama. Contohnya saja nilai pembeda yang dalam selisih angka 3, 4, atau 5 dan lain sebagainya.

Namun demikian, mungkin suatu waktu anda menemukan suatu barisan aritmatika yang tidak sama antara selisih pada suku-sukunya. Misalkan pada barisan bilangan berikut ini : 1,5,12,22, 35. Hal tersebut menandakan anda belum mendapatkan nilai pembeda yang sama pada barisan aritmatika bertingkat pertama pada barisan bilangan tersebut. Mungkin pada tingkatan selanjutnya anda baru dapat nilai pembeda yang sama.

Selisih dari bilangan aritmatika yang belum terdapat nilai pembeda menjadi barisan bilangan Aritmatika tingkat pertama. Barulah pada tingkatan kedua dapat diketahui nilai pembeda yang sama dari barisan bilangan. Hal ini perlu diketahui oleh seorang pelajar dalam membantu menyelesaikan soal Aritmatika bertingkat secara lebih mudah.

Apa yang Dimaksud dengan Barisan Aritmatika Bertingkat?

Apa yang dimaksud dengan barisan aritmatika bertingkat? Barisan aritmatika bertingkat dalam rumus aritmatika bertingkat mempunyai perbedaan nilai yang bersifat tetap.  Perbedaan nilai dapat dilihat dari suku pertama ke tingkat selanjutnya.

Sehingga tugas anda adalah melakukan pencarian terhadap selisih yang angkanya sama pada setiap barisan bilangan pada level  berikutnya. Hal ini pula yang dinamakan dengan barisan aritmatika bertingkat.

Jika nilai pembedanya dapat ditemui pada  level kesatu, maka anda bisa memberi nama barisan aritmatika bertingkat satu. Begitu pun ketika anda berhasil mendapatkan nilai pembedanya pada baisan bertingkat 2, anda dapat menamakannya barisan aritmatika bertingkat 2. Sedangkan jika anda berhasil menjumpai nilai pembeda di barisan tingkat 3 maka anda dapt menamainya barisan bertingkat tiga. Hal itu berlanjut ke tingkat selanjutnya.

Pendek kata, tingkatan di barisan aritmatika bertingkat berbagai macam tingkatan. Terdapat banyak tingkatan pada aritmatika bertingkat hingga dapat mencapai tujuh, delapan tingkatan dan tingkatan selanjutnya.

Namun dikhususkan bagi pelajar tingkat Sekolah Menengah Pertama (SMP), materi tentang barisan aritmatika bertingkat hanya sampai pada tingkatan kedua dan ketiga pada level barisan aritmatika bertingkatnya.

Untuk lebih memudahkan pemahaman tentang rumus aritmatika bertingkat ini, berikut ini salah satu contoh barisan aritmatika bertingkat satu: 1, 4, 7, 10, 13. Dalam arti nilai pembedanya sudah dapat ditemukan pada tingkatan pertama yakni tetap sama nilai selisihnya tiga pada setiap bilangan angka.

Untuk contoh barisan aritmatika bertingkat dua adalah 1, 5, 12, 22, 35. Pada tingkatan kesatu nilai pembedanya  4, 7, 10, 13 dan belum ditemukan nilai pembeda. Namun pada tingkatan kedua nilai pembeda ditemukan dengan selisih yang sama yakni tiga angka.  Inilah yang disebut barisan aritmatika bertingkat dua.

Sedangkan contoh barisan aritmatika bertingkat tiga adalah 1, 3, 11, 31, 69, 131.  Angka pembeda yang berada di tingkatan kesatu  berdasarkan angka tersebut adalah 2, 8, 20, 38, 62. Adapun untuk bilangan pada barisan aritmatika bertingkat dua yaitu 6, 12, 18, 24. Barulah pada tingkatan tiga diketahui nilai pembedanya yang tetap yakni tiga yaitu 6, 12, 18, 24 yang setiap suku selisih tiga. Inilah yang dinamakan barisan aritmatika bertingkat tiga.

Hanya sampai pada barisan aritmatika bertingkat tiga yang akan dipelajari bagi para pelajar SMP di sekolah. Sehingga lebih mudah terhadap penghitungan dan pemahaman tentang rumus aritmatika bertingkat.

Setelah memahami konsep dan teori barisan aritmatika bertingkat maka dilanjutkan dengan mempelajari dengan bagaimana cara mencari rumus suku ke n (Un) di barisan aritmatika bertingkat satu.

Bagaimana Rumus Barisan Aritmatika?

Lantas bagaimana rumus barisan aritmatika? Setiap barisan bilangan Aritmatika bertingkat mempunyai nilai pembeda. Namun seringkali tidak dapat ditemukan nilai pembedanya. Karena masih tersembunyi. Sehingga tugas anda menemukan nilai pembeda yang sama tersebut.

Mungkin terdapat pada barisan aritmatika bertingkat pada tingkatan kedua. Jika belum ada, mungkin terdapat pada barisan bilangan aritmatika tingkat tiga. Jika belum ada lagi mungkin pada barisan bilangan Aritmatika tingkat 4 dan seterusnya.

Adapun rumus barisan aritmatika bertingkat yang paling dasar adalah :  Un=a+ (n-1)b

Rumus aritmatika bertingkat  yang disebutkan di atas dinamakan juga sebagai rumus suku ke n bagi deret aritmatika level satu. Kemudian bagaimana dengan level yang lainnya?

Rumus aritmatika terbagi ke dalam berbagai tingkatan. Dari mulai rumus aritmatika tingkat satu, tingkat dua, tingkat tiga sampai rumus aritmatika tingkat empat.

Apa Saja Contoh Barisan Aritmatika?

Tahukah kalian apa saja contoh barisan aritmatika? Secara mudahnya, barisan aritmatika merupakan sebuah barisan kumpulan bilangan yang mempunyai pola tertentu. Adapun untuk  wujudnya bisa  seperti penambahan bilangan yang mempunyai selisih atau perbedaan yang konstan.

Adapun contoh dari barisan aritmatika adalah : 5, 10, 15, dan 20. Anda bisa melihat selisih setiap bilangan adalah sama yakni selisih sebesar 5 angka.  Itu merupakan contoh barisan aritmatika yang paling mudah.

Barisan aritmatika yang tersusun dengan pola tertentu ternyata dapat dihitung setiap barisannya menggunakan rumus aritmatika bertingkat. Dengan cara melakukan penghitungan suku ke n, mencari pembeda, dan menghitung jumlahnya pada barisan aritmatika.

Berikut ini rumus barisan aritmatika bertingkat yang dapat anda pergunakan yakni  Un-a+(n-1)b.

Dengan catatan :

n sama dengan suku ke-

b sama dengan beda

Un sama dengan suku ke n

U1-a –suku kesatu pada barisan aritmatika

Untuk melakukan pencarian b atau pembeda di barisan aritmatika dapat menggunakan rumus :

B=Un-Un-1

Sedangkan untuk contoh deret aritmatika atau Sn dengan berpatokan pada barisan aritmatika. Karena pengertian dari deret aritmatika itu sendiri merupakan jumlah semua suku yang terdapat pada barisan aritmatika. Misalkan contoh barisan aritmatika yaitu U1, U2, U3 dan seterusnya maka contoh deret aritmatika adalah U1+U2+U3 dan seterusnya.

Untuk contoh soal deret aritmatika pada rumus aritmatika bertingkat adalah :

Silahkan anda menentukan rumus Sn apabila didapatkan barisan aritmatika menggunakan rumus  Un =6n-2

Pembahasan jawaban :

Didapatkan rumusan Un=6n-2 .  Anda hanya perlu melakukan pencarian terhadap nilai a pada barisan bilangan  U2=6(2)-2=10. 1=10.

Sedangkan untuk pencarian nilai b = U2-U1. Dalam hal ini, b=10-4. B= 6. Dengan demikian,  rumus Sn yang didapatkan adalah Sn-3n2+n.

Bagaimana Cara Mencari Rumus Suku Ke n ?

Sebenarnya bagaimana cara mencari rumus suku ke n? Dalam pencarian suku ke n atau Un di barisan aritmatika tingkatan satu maka rumus suku ke n tersebut sama secara umum adalah Un = a+(n-1)b . Sedangkan untuk pencarian Un di barisan aritmatika bertingkat 2 ataupun 3, anda dapat memakai rumus suku ke n berikut :  Un=an2 +bn+c

Untuk pemahamannya, anda bisa langsung melakukan pencarian rumus suku ke n untuk barisan aritmatika bertingkat satu dan dua.

Dengan data n=1 maka akan didapatkan suku pertama yakni U1 =a+b+c. Sedangkan untuk rumus kedua yang didapatkan dari suku kedua yaitu U2=4a+2b+c . Untuk selanjutnya anda melakukan hal sama.

Contoh Soal Rumus Aritmatika Bertingkat

Berikut ini beberapa contoh soal rumus aritmatika bertingkat yang bisa kalian pelajari.

Silahkan ditentukan jumlah 81 dari suku pertama dari deretan dibawah ini :

1 + 4 + 7 + 10 + ……

Pembahasan jawaban :

Anda dapat melakukan penyelesaian soal rumus aritmatika bertingkat memakai dua cara yang umum yang bisa anda pilih untuk  deret aritmatika level satu. Peraturannya adalah a=1b=4-1=3. Cara kedua  yang bisa dipilih adalah menggunakan rumus Sn : S1 S2=1+4 =5 S3 = 1+4+7 = 12 S4 = 1+4+7+10=22 S5 = 1+4+7=10+13=35.

Sehingga didapatkan hasil jumlah ke-81 suku pertama dari bilangan deret aritmatka di atas adalah  35.

Contoh soal rumus aritmatika bertingkat selanjutnya adalah :

Apabila bilangan ganjil diklasifikasikan jadi (1), (3,5), (7,9,11), (13, 15, 17, 19), (21, 23, 25, 27, 29),….

Berapa bilangan angka terakhir pada ke-50?

Pembahasan soal:

Anda tinggal mengambil kumpulan bilangan terakhir untuk menentukan besaran angka yang tetap. Dalam hal ini, angka tersebut adalah 1, 5, 11, 19, 29,….

Berikut bilangan-bilangan terakhir tersebut,anda bisa mencari selisih angkanya yang konstan. Setelah dihitung 1 ditambah empat= 5. Kemudian 5 +6 =11. Lalu 19 ditambah 10 = 29.

Anda tinggal menggunakan rumus untuk mengetahui angka terakhir dengan rumus : U50 =1 + (50-1).4 +(50-1) (50-2).1 U50= 1+196 tambah 2352 sama dengan 2549. Dengan demikian anda dapat menentukan angka terakhir pada ke-50 di barisan rumus aritmatika bertingkat di atas yaitu 2549.

Demikianlah ulasan tentang pengertian rumus aritmatika bertingkat, rumus beserta contohnya yang penting dikuasai. Namun untuk memperdalam materi pelajaran ini kalian bisa mengikuti bimbel atau les privat SMP agar prestasi di sekolah terus meningkat. Semoga bermanfaat.

Yusuf C

Recent Posts

Mengenal Energi Kinetik: Manfaat, Bentuk, Rumus dan Contohnya

Energi kinetik, pernahkah kamu mendengarnya? Itu adalah kekuatan yang mendorong segala sesuatu bergerak, dari bola…

10 menit ago

Mengenal Pengertian Zat Aditif, Jenis, Ciri-Ciri, Dampak dan Contohnya

Apakah Anda tahu bahwa zat aditif sering digunakan dalam berbagai produk makanan dan minuman yang…

20 jam ago

Memahami Struktur Kloroplas, Fungsi, Ciri-Ciri dan Cara Kerjanya

Kloroplas merupakan struktur membran dari sel tumbuhan yang berfungsi sebagai mesin kehidupan yang mengubah sinar…

2 hari ago

Memahami Pengertian Zat Adiktif, Jenis, Ciri-Ciri, Contoh dan Dampaknya

Zat adiktif merajalela karena akan berpotensi merusak kehidupan banyak orang dan meruntuhkan masyarakat kita. Setiap…

3 hari ago

Apa itu Globalisasi, Ciri-Ciri, Proses, Bentuk dan Pengaruhnya

Globalisasi telah menjadi isu yang mendesak dalam beberapa dekade terakhir. Dengan semakin hilangnya batas-batas geografis,…

4 hari ago

10 Ide Rahasia Edit Video Wisuda Terbaik dan Berkesan

Pernahkah kamu berpikir untuk mengedit video wisuda yang berkesan? Wisuda merupakan salah satu momen penting…

5 hari ago